domingo, 7 de janeiro de 2018

Teorema de Pitágoras-Ex.Resolvidos-1

EX-01 (FUVEST - 2007)
O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a.  Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a:


Solução:

No triângulo retângulo da figura abaixo, aplicando Pitágoras, temos:




Resposta: a alternativa correta é (c).




EX-02 (UFSCAR - 2008)

A figura indica um paralelepípedo retângulo de dimensões √2 x √2 x √7, sendo A, B, C e D quatro de seus vértices.


A distância de B ao plano que contém A, D e C é igual a:







Solução:
Como os triângulos ABC, BCD e ACM são retângulos, por Pitágoras temos:









Portanto, o volume do tetraedro ABCD é:


Considerando d a distância de B até o plano ACD; e considerando o ∆ACD como base e d como a altura do tetraedro, o volume é o mesmo. (Cálculo do volume do mesmo tetraedro considerando parâmetros diferentes).

Portanto,

Comparando as duas expressões do volume do tetraedro ABCD, temos:




Resposta: Alternativa correta é: b


EX-03
Na figura abaixo calcule os valores de d e D em função de a, b e c.


Solução:

Na figura podemos observar as seguintes situações:

1) O segmento D é a diagonal do paralelepípedo cujos lados são a, b e c.

2) O segmento d é a diagonal do retângulo (=base do paralelepípedo) cujos lados são a e b.

3) Podemos observar dois triângulos retângulos (pintados de azul e lilás) conforme a figura a seguir:



Dessa figura observa-se que o segmento d (diagonal da base do paralelepípedo) é comum a um dos catetos do triângulo azul.

Assim podemos escrever as seguintes expressões com aplicação de teorema de Pitágoras:


Calculando o valor da diagonal d:

De (I), temos:





Calculando o valor da diagonal D:

(I) em (II), temos:





EX-04
Calcule a altura H do tetraedro regular de aresta a.


Solução:

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ABM1, temos:



Logo,

 

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo BDG, temos:




EX-05
Calcule a altura H do pentaedro regular de aresta a.


Solução:


A altura H é o cateto do triângulo BEO, retângulo em O.

1) Calcular o valor do segmento OB (cateto do ∆BEO):

O triângulo ∆ABD é retângulo em A, portanto, temos:




2) Calcular o valor da altura H:

O triângulo BEO é retângulo em O, portanto, temos:





EX-06
Uma empresa produz dados com 4 faces em forma de tetraedro regular. Os dados são feitos de acrílico e sua aresta mede cm. O volume de acrílico utilizado para fabricar 5000 dados é:

a) 12006 cm3
b) 12506 cm3
c) 13006 cm3
d) 13506 cm3
e) 14006 cm3



Solução:

Sabendo-se que:






Então,






O volume do tetraedro é um terço do produto da área da base pela altura h.











O volume de acrílico necessário para fabricar 5000 dados é:



Resposta: alternativa b




EX-07 (FUVEST/ENEM)
Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é:

a) 23
b) 4
c) 32
d) 33
e) 6


Solução:


As arestas do tetraedro ACHF são as diagonais da face do cubo, então:


A área de uma face desse tetraedro é igual à do triângulo equilátero de lado 22.  Então.


Logo, temos:











Resposta: alternativa a




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