Sistema de Equações Simultâneas

Agora vamos considerar equações do 1º grau com 2 variáveis, isto é, equações que podem reduzir-se a uma equivalente da forma:

2x - 3y = 4;    x + y = 1;   3x + y = 0

A resolução dessas equações, isto é, a determinação do seu Conjunto-Verdade, ou Conjunto-Solução (S) pode ser feita do mesmo modo que foram resolvidas as sentenças do assunto anterior (=equações do 1º grau com 1 variável): determina-se o Conjunto-Universo do par de variáveis verifica-se depois para que os pares desse conjunto a equação é verdadeira.

SISTEMA DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS

Vamos considerar agora uma sentença aberta composta, por exemplo, pela equação x - y = 2 e pela outra equação 2x - y = 1, com um mesmo Conjunto-Universo, U = Z x Z, e ligadas pelo conectivo "e":

x - y = 2  e  2x - y = 1

A sentença composta acima chama-se sistema de duas equações  simultâneas do 1º grau com duas variáveis e costuma-se escrevê-la sob a forma:

Resolver esse sistema é determinar o conjunto dos pares ordenados (x, y) do seu Conjunto-Universo, para os quais ambas as equações sejam verdadeiras (para as quais as equações sejam simultaneamente verdadeiras).

MÉTODO DE ELIMINAÇÃO POR ADIÇÃO

Um método rápido para a resolução de um sistema de duas equações simultânenas do 1º grau com duas variáveis.

1. Resolver:  

a) Pela Propriedade Aditiva da Igualdade, adicionando-se essas duas equações, membro a membro, as respectivas somas ainda serão iguais, obtendo-se assim uma equação com um só variável que forma, com cada uma das equações do sistema , um novo sistema equivalente ao sistema dado:

b) Pela Propriedade Multiplicativa da Igualdade, multiplicando-se a 2ª equação por (-1), [o que equivale a trocar o sinal de todos seus termos], obtém-se uma equação equivalente e, portanto, um sistema equivalente ao dado; adicionando-se agora as duas equações do sistema obtido, membro a membro, obtém-se uma equação com uma só variável que forma, com cada uma das equações do sistema, um novo sistema equivalente ao sistema dado:

Logo, a solução do sistema de equações dado é: (4, 2).